Lisa daily math: Apa Saja Bentuk - Bentuk Penerapan Induksi Matematika ?

1.3 Bentuk-Bentuk Penerapan Induksi Matematika

1.3.1 Penerapan Induksi Matematika pada Barisan dan Bilangan

Pada jenis deret, biasanya persoalan induksi matematika ditemui dalam bentuk penjumlahan yang beruntun.

Sehingga, pada persoalan deret haruslah dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k+1).

Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan n = (n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n=(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar

Langkah Kedua :
Asumsikan n=(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N

Langkah Ketiga

Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi :
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, n = (k + 1) benar

1.3.2 Penerapan Induksi Matematika pada Keterbagian

Untuk n bilangan asli, x ≠ 1, buktikan dengan induksi matematika bahwa xⁿ – 1 habis dibagi (x – 1).

Pembahasan:

Misalkan P(n) = xn – yn .

Untuk membuktikan P(n) = xⁿ – 1 habis dibagi (x – 1), artinya P(n) dapat dituliskan sebagai kelipatan x – 1.

Oleh karena itu, akan ditunjukkan P(n) = xⁿ – 1 memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Langkah Awal :

Untuk n = 1, sangat jelas bahwa x – 1 = (x – 1) × 1.

Demikian halnya untuk n = 1 diperoleh bahwa x² – 1 = (x – 1)(x + 1). Artinya jelas bahwa P(2) = x² – 1 habis dibagi (x – 1).

Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

Untuk n = 3, maka x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1 ).
Untuk n = 4, maka x⁴ – 1= (x – 1)(x³ + x² + x + 1).
Untuk n = 5, maka x⁵ – 1 = (x – 1)(x⁴+ x³ + x² + x + 1).

Jadi untuk n = k, maka P(k) = x^k – 1 = (x – 1)(x^k^{– 1}+ 1).

Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = x^k – 1 habis dibagi x – 1. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = x^k^{– 1} – 1 juga habis dibagi (x – 1).

1.3.3 Penerapan Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Untuk setiap bilangan asli n, kita memiliki pernyataan yang memenuhi dua kondisi sebagai berikut.
1. P₁ dibuktikan benar;
2. Jika dianggap benar untuk setiap bilangan asli k, maka harus dibuktikan juga benar.

Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan benar untuk setiap bilangan asli n.

Mari kita lihat soal tersebut.
Salah satu penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan dalam pertidaksamaan eksponen yang akan dijelaskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 2ⁿ > n.

Bukti :
Misalkan ≡ 2ⁿ > n.
Langkah 1 :
P₁ ≡ 2¹ > 1 (benar)

Langkah 2 :
Anggap (benar)
Akan dibuktikan (benar)

(karena k > 1 benar)

Kesimpulan :
≡ 2ⁿ > n

Terbukti.